NATURALEZA & MATEMÁTICAS

EL PARABOLOIDE HIPERBOLICO

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Figura 1. Hoja de Magnolia  carisifragans, curvada en silla de montar. 

Un  Paraboloide Hiperbólico , conocido también como “Silla de Montar” , es una función 3-D definida por la ecuación

Captura de pantalla 2018-07-15 a la(s) 11.30.33 a. m.

En esta función,  y particularmente en el caso de las hojas de Magnolia, los elementos cuadráticos deben tener signos contrarios, definiendo el elemento positivo  de la ecuación la curvatura convexa de la superficie foliar ,  mientras que  el elemento   negativo define la curvatura concava de la misma .

La “Silla de Montar” tiene la particular de contener un punto que es a la vez un máximo y un mínimo geométrico (Saddle Point), ver figura 2.

Saddle_point.svgFigura 2. Saddle point . indicado en rojo.  Si este punto fuera una gota de agua sobre la superficie de una hoja,  esta sería la única posición  donde  pudiera existiría un delicado equilibrio o balance  dinámico sin flujo hídrico. 

La porción  concava de la curvatura de la  hoja (sentido axial)  la define un diferencial de tension de la nervadura central compensado por una curvatura hacia el haz foliar, mientras que  las curvaturas convexas (sentido transversal) las definen los  diferenciales de tension de las nervaduras secundarias hacia el enves.

Esta forma particular de curvatura foliar, en estructuras semi-rígidas como el caso de las hojas de Magnolia spp, es ideal para un adecuado drenaje del agua  lluvia, evitandose así el establecimiento de  líquenes, musgos y demas epífitas que pudieran afectar la evapo-transpiración y la actividad fotosintética.

Para una hoja dispuesta horizontalmente (posicion que maximiza la exposición a la luz) , el drenaje se efectúa con dos componentes vectoriales: Flujo de agua en sentido axial y hacia el centro de la hoja, y en sentido transversal y hacia afuera de la misma.

Para maximizar el flujo hídrico , cada nervadura secundaria  plega de manera marcada  la superficie foliar  formando canales  o “valles de drenaje”  en el curso de las nervaduras,  y crestas entre nervadura y nervadura (ver figura 1).

Una particularidad de construcción interesante de esta función es que es una función “Doblemente reglada”, lo cual quiere decir que es posible construirla a partir de lineas rectas, ver fig 3.

640px-Hyperbolic-paraboloid.svg

Figura 3. Construcción de un Paraboloide Hiperbolico a partir de líneas rectas.

Como un comentario al margen del tema, funciones en silla de montar son muy frecuentes  en fuciones de costo (Cost Functions) n-dimensionales   de los diferentes modelos de Inteligencia artificial (Machine Learning) utilizados hoy en día.

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